翻译 3Blue1Brown - Linear combinations, span, and basis vectors

矢量坐标可能对许多人来说已经很熟悉了，但还有另一种有趣的方法来思考这些坐标，它是线性代数的核心。
当你有一对用来描述矢量的数字时，比如(3,-2)，把每个坐标都看作标量。

在xy坐标系中，有两个特殊的矢量。

• 指向右边的矢量长度为1，通常称为\hat{i}。x 方向上的单位向量。
• 指向上方的矢量长度为1，通常称为\hat{j}。y 方向上的单位向量。

现在可以将坐标描述为两个矢量缩放后的和。

将两个矢量缩放后相加是一个重要概念。这两个矢量\hat{i} 和 \hat{j} 被成为坐标系的基。

使用不同的基向量

选择一对不同的基向量，可以得到一个完全合理的新坐标系。
例如，取一个右上的矢量和一个右下的矢量。

现在可以用新的基向量来描述向量。

这样一对新的基向量仍然可以让你在数对和二维向量之间来回切换，但这种关联肯定不同于使用标准基\hat{i} 和 \hat{j} 所得到的版本。

线性组合

任何时候，将两个向量按比例相加，都称为这两个向量的线性组合。

这里的 "线性 "一词从何而来？ 这和线条有什么关系？
那么，当你用一个标量乘以一个向量时，就会改变该向量的大小。 将每个实数与向量相乘，就会产生一条通过原点和向量所定义的点的无穷大直线。

因此，两个向量的线性组合就是这两条线的组合方法。 对于大多数矢量对来说，如果让两个标量自由发挥，并考虑可能得到的所有矢量，就能到达平面上的每一个可能的点。 每个二维向量都在你的掌握之中。

但是，如果两个原始向量碰巧在一条直线上，那么标量相乘产生的直线将是同一条直线，因此将它们相加不会产生该直线以外的向量。

张成

通过给定的一对向量的线性组合，可以得到的所有可能向量的集合，称为这两个向量的 "张成"。

用这个术语重述一下我们刚才看到的内容：大多数二维向量对的张成，是二维空间中的所有向量；但当它们排成一行时，它们的张成是其顶端位于某条直线上的所有向量。如下图。

还记得我们说过线性代数，是围绕向量加法和标量乘法展开的吗？ 两个向量的张成基本上就是在问，如果只使用向量加法和标量乘法这两个基本运算，你可以得到哪些可能的向量？

三维空间的张成

如果我们开始思考三维空间中的向量，张成的概念就会变得更加有趣。例如，如果在三维空间中取两个不指向同一方向的向量，那么取它们的张成是什么意思呢？

那么，它们的张成，就是这两个向量所有可能的线性组合的集合。也就是说，你可以通过某种方式将两个向量中的每一个缩放，然后将它们相加，得到所有可能的向量。

你可以想象，转动两个旋钮来改变定义线性组合的两个标量，将缩放后的向量相加，然后沿着生成的向量的尖端前进。这个尖端会描绘出某种平面，穿过三维空间的原点。

这个平面就是两个向量的张成。或者更准确地说，所有可能的向量的集合，其顶端位于这张平面上的，就是你的两个向量的张成。这难道不是一幅美丽的图像吗？

如果再加上第三个向量，并考虑所有三个向量的张成，会发生什么情况呢？三个向量的线性组合与两个向量的定义基本相同： 选择三个标量，用它们对每个向量进行缩放，然后将它们相加。同样，这些向量的张成就是所有可能的线性组合的集合。

当我们添加第三个向量时，可能会发生两种情况：

1. 如果你的第三个向量恰好位于前两个向量的张成上，那么张成不会改变，你就会被困在同一张平面上。换句话说，在前两个向量的线性组合中加入第三个向量的缩放版本，并不会让你获得任何新的向量。
   
2. 如果你随意选择第三个向量，同时它不会落在前两个向量的张成上。由于它指向的是另一个方向，因此它可以访问所有可能的三维向量！我们可以这样想，当你缩放新的第三个向量时，它就会在前两个向量的张成上移动，从而横扫整个空间。
   
   这就好比你充分利用了三个可自由变化的标量，从而获得了完整的三维空间。

线性相关

在第三个向量位于前两个向量的张成上的情况下，或者两个向量碰巧排在一起的情况下，我们需要一些术语来描述这样一个事实：这些向量中至少有一个是多余的，没有给我们的张成增加任何东西。每当出现这种情况时，如果你有多个向量，而你可以在不减少它们的张成的情况下移除其中一个，那么相关的术语就是说它们是 线性相关的。

另一种说法是，其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合。也就是说，它已经在其他两个向量的张成中了。

线性无关

另一方面，如果每个向量确实为张成增加了另一个维度，那么它们就被称为 "线性无关"。